Chứng Minh A B C D Đồng Phẳng Trong Không Gian Oxyz

Cho ba vectơ \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c \) không đồng phẳng. Xét các vectơ \(\overrightarrow x  = 2\overrightarrow a  + \overrightarrow b ;\,\,\,\overrightarrow y  = \overrightarrow a  - \overrightarrow b  - \overrightarrow c ;\)\(\,\overrightarrow z  =  - 3\overrightarrow b  - 2\overrightarrow c \,\). Chọn khẳng định đúng?

Cách dạng bài tập tính góc trong không gian oxyz: 2 mặt phẳng, 2 đường thẳng, dt và mp

Gọi $\varphi $ là góc giữa 2 mặt phẳng (P) và (Q) ta có:

$\cos \varphi =\left| \cos \left( \overrightarrow{{{n}_{(P)}}};\overrightarrow{{{n}_{Q}}} \right) \right|=\frac{\left| A.A'+B.B'+C.C' \right|}{\sqrt{{{A}^{2}}+{{B}^{2}}+{{C}^{2}}}.\sqrt{A{{'}^{2}}+B{{'}^{2}}+C{{'}^{2}}}}({{0}^{o}}\le \varphi ,9{{0}^{o}})$

Cho 2 đường thẳng ${{d}_{1}}$ có vecto chỉ phương $\overrightarrow{{{u}_{1}}}=({{a}_{1}};{{b}_{1}};{{c}_{2}})$và đường thẳng ${{d}_{2}}$ có vecto chỉ phương $\overrightarrow{{{u}_{2}}}=({{a}_{2}};{{b}_{2}};{{c}_{2}})$. Góc $\varphi $ giữa hai đường thẳng đó được tính theo công thức

$\cos \varphi =\left| \cos \left( \overrightarrow{{{u}_{1}}};\overrightarrow{{{u}_{2}}} \right) \right|=\frac{\left| {{a}_{1}}{{a}_{2}}+{{b}_{1}}{{b}_{2}}+{{c}_{1}}{{c}_{2}} \right|}{\sqrt{a_{1}^{2}+b_{1}^{2}+c_{1}^{2}}.\sqrt{a_{2}^{2}+b_{2}^{2}+c_{2}^{2}}}({{0}^{o}}\le \varphi ,9{{0}^{o}})$

) Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Cho đường thẳng d có vecto chỉ phương là $\overrightarrow{u}=(a;b;c)$ và mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến là $\overrightarrow{n}(A;B;C)$. Gọi $\varphi $ là góc giữa d và (P) thì $\varphi $ được tính theo công thức

$\sin \varphi =\left| \cos \left( \overrightarrow{u};\overrightarrow{n} \right) \right|=\frac{\left| A.a+B.b+C.c \right|}{\sqrt{{{A}^{2}}+{{B}^{2}}+{{C}^{2}}}.\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}}({{0}^{o}}\le \varphi ,9{{0}^{o}})$

Bài tập trắc nghiệm về góc trong không gian có đáp án chi tiết

Bài tập 1: Cho hai mặt phẳng $(P):2x-y-2z-5=0$ và $(Q):x-y+1=0$. Góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) là:

A. ${{30}^{o}}.$ B. ${{45}^{o}}.$ C. ${{60}^{o}}.$ D. ${{135}^{o}}.$

Ta có: $\overrightarrow{{{n}_{(P)}}}=\overrightarrow{{{n}_{1}}}=(2;-1;-2);\overrightarrow{{{n}_{(Q)}}}=\overrightarrow{{{n}_{2}}}=(1;-1;0)$

Khi đó: $\cos \left( (P);(Q) \right)=\left| \cos \left( \overrightarrow{{{n}_{1}}};\overrightarrow{{{n}_{2}}} \right) \right|=\frac{\left| 2.1+2-2.0 \right|}{\sqrt{4+1+4}.\sqrt{2}}=\frac{3}{3\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\Rightarrow \widehat{\left( (P);(Q) \right)}={{45}^{0}}$

Bài tập 2: Cho hai mặt phẳng $(P):2x-y+2z-1=0$ và $(Q):x+2y-z+3=0$. Gọi $\alpha $ là góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) khi đó $\cos \alpha $ bằng

A. $-\frac{\sqrt{6}}{9}.$ B. $\frac{-2\sqrt{5}}{15}.$ C. $\frac{2\sqrt{5}}{15}.$ D. $\frac{\sqrt{6}}{9}.$

Ta có $\overrightarrow{{{n}_{(P)}}}=\overrightarrow{{{n}_{1}}}=(2;-1;2);\overrightarrow{{{n}_{(Q)}}}=\overrightarrow{{{n}_{2}}}=(1;2;-1)$

Khi đó: $\cos \alpha =\left| \cos \left( \overrightarrow{{{n}_{1}}};\overrightarrow{{{n}_{2}}} \right) \right|=\frac{\left| 2-2-2 \right|}{\sqrt{4+1+4}.\sqrt{1+4+1}}=\frac{2}{3\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{6}}{9}.$

Bài tập 3: Cho hai mặt phẳng $(P):mx+2y+mz-12=0$ và $(Q):x+my+z+3=0$. Có bao nhiêu giá trị của m sao cho góc giữa hai mặt phẳng $(P)$ và (Q) bằng ${{45}^{o}}$

Ta có: $\overrightarrow{{{n}_{(P)}}}=\overrightarrow{{{n}_{1}}}=(m;2;m);\overrightarrow{{{n}_{(Q)}}}=\overrightarrow{{{n}_{2}}}=(1;m;1)$

Khi đó: $\cos {{45}^{o}}=\left| \cos \left( \overrightarrow{{{n}_{1}}};\overrightarrow{{{n}_{2}}} \right) \right|=\frac{\left| m+2m+m \right|}{\sqrt{2{{m}^{2}}+4}.\sqrt{{{m}^{2}}+2}}=\frac{4\left| m \right|}{\sqrt{2}\left( {{m}^{2}}+2 \right)}$

$\Leftrightarrow \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{4\left| m \right|}{\sqrt{2}({{m}^{2}}+2)}\Leftrightarrow {{m}^{2}}+2=4\left| m \right|\xrightarrow{t=\left| m \right|>0}{{t}^{2}}-4t+2=0\Rightarrow t=2\pm \sqrt{2}\Rightarrow m=\pm \sqrt{2\pm \sqrt{2}}$

Bài tập 4: Cho hai mặt phẳng $(P):4x+my+mz+1=0$ và $(Q):x-y-3=0$. Có bao nhiêu giá trị của m sao cho góc giữa hai mặt phẳng $(P)$ và (Q) bằng ${{60}^{o}}$

Ta có $\overrightarrow{{{n}_{(P)}}}=\overrightarrow{{{n}_{1}}}=(4;m;m);\overrightarrow{{{n}_{(Q)}}}=\overrightarrow{{{n}_{2}}}=(1;-1;0)$

Khi đó: $\cos {{60}^{o}}=\left| \cos \left( \overrightarrow{{{n}_{1}}};\overrightarrow{{{n}_{2}}} \right) \right|=\frac{\left| 4-m \right|}{\sqrt{2{{m}^{2}}+16}.\sqrt{2}}=\frac{\left| 4-m \right|}{2\sqrt{{{m}^{2}}+8}}$

$\Leftrightarrow \frac{1}{2}=\frac{\left| 4-m \right|}{2\sqrt{{{m}^{2}}+8}}\Leftrightarrow {{m}^{2}}+8={{(4-m)}^{2}}\Leftrightarrow 8=16-8m\Leftrightarrow m=1$

Bài tập 5: Cho 2 đường thẳng ${{d}_{1}}:\frac{x}{-1}=\frac{y+1}{4}=\frac{z}{3}$ và ${{d}_{2}}:\frac{x}{1}=\frac{y+1}{-4}=\frac{z+2}{-3}$. Góc giữa ${{d}_{1}}$ và ${{d}_{2}}$ là:

A. ${{0}^{o}}.$ B. ${{30}^{o}}.$ C. ${{60}^{o}}.$ D. ${{90}^{o}}.$

$\overrightarrow{{{u}_{1}}}=(-1;4;3);\overrightarrow{{{u}_{2}}}=(1;-4;-3)\Rightarrow \cos ({{d}_{1}};{{d}_{2}})=\left| \cos \left( \overrightarrow{{{u}_{1}}};\overrightarrow{{{u}_{2}}} \right) \right|=\frac{\left| -26 \right|}{\sqrt{1+16+9}.\sqrt{1+16+9}}=1.$

Do đó $\widehat{\left( {{d}_{1}};{{d}_{2}} \right)}={{0}^{o}}.$

Bài tập 6: Cho 2 đường thẳng ${{d}_{1}}:\left\{ \begin{align} & x=t \\ & y=5-2t \\ & z=14-3t \\ \end{align} \right.$ và ${{d}_{2}}:\left\{ \begin{align} & x=1-4t \\ & y=2+t \\ & z=-1+5t \\ \end{align} \right.$. Góc giữa ${{d}_{1}}$ và ${{d}_{2}}$ là:

A. ${{0}^{o}}.$ B. ${{30}^{o}}.$ C. ${{60}^{o}}.$ D. ${{90}^{o}}.$

$\overrightarrow{{{u}_{1}}}=(1;-2;3);\overrightarrow{{{u}_{2}}}=(-4;1;5)\Rightarrow \cos ({{d}_{1}};{{d}_{2}})=\left| \cos \left( \overrightarrow{{{u}_{1}}};\overrightarrow{{{u}_{2}}} \right) \right|=\frac{\left| -4-2-15 \right|}{\sqrt{1+4+9}.\sqrt{16+1+25}}=\frac{21}{14\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{2}.$

Suy ra $\widehat{\left( {{d}_{1}};{{d}_{2}} \right)}={{30}^{o}}.$

Bài tập 7: Cho 4 điểm $A(1;0;0);\,B(0;1;0);\,C(0;0;1)$ và $D(-2;1;-1)$. Góc giữa 2 đường thẳng AB và CD là:

A. ${{45}^{o}}.$ B. ${{30}^{o}}.$ C. ${{60}^{o}}.$ D. ${{90}^{o}}.$

Ta có: $\overrightarrow{{{u}_{AB}}}=\overrightarrow{{{u}_{1}}}=(-1;1;0);\overrightarrow{{{u}_{CD}}}=\overrightarrow{{{u}_{2}}}=(-2;1;-2)$

Khi đó: $\cos \left( \widehat{AB;CD} \right)=\left| \cos \left( \overrightarrow{{{u}_{1}}};\overrightarrow{{{u}_{2}}} \right) \right|=\frac{\left| 2+1 \right|}{\sqrt{2}.3}=\frac{1}{\sqrt{2}}\Rightarrow \left( \widehat{AB;CD} \right)={{45}^{o}}.$

Bài tập 8: Cho 2 đường thẳng ${{d}_{1}}:\frac{x-1}{2}=\frac{y}{2}=\frac{z+1}{-1}$ và ${{d}_{2}}:\frac{x+1}{1}=\frac{y-2}{-2}=\frac{z+3}{1}$. Cosin góc giữa ${{d}_{1}}$ và ${{d}_{2}}$ là:

A. $\frac{\sqrt{6}}{3}.$ B. $\frac{\sqrt{3}}{2}.$ C. $\frac{1}{\sqrt{6}}.$ D.$\frac{1}{\sqrt{2}}.$

Ta có: $\overrightarrow{{{u}_{1}}}=(2;2;-1);\overrightarrow{{{u}_{2}}}=(1;-2;1)\Rightarrow cos\left( {{d}_{1}};{{d}_{2}} \right)=\left| \cos \left( \overrightarrow{{{u}_{1}}};\overrightarrow{{{u}_{2}}} \right) \right|=\frac{\left| 2-4-1 \right|}{3.\sqrt{6}}=\frac{3}{3\sqrt{6}}=\frac{1}{\sqrt{6}}.$

Suy ra $\left( \widehat{{{d}_{1}};{{d}_{2}}} \right)={{30}^{o}}.$

Bài tập 9: Cho hai đường thẳng ${{d}_{1}}:\left\{ \begin{align} & x=-1+t \\ & y=-t\sqrt{2} \\ & z=2+t \\ \end{align} \right.$ và ${{d}_{2}}:\left\{ \begin{align} & x=2+t \\ & y=1+t\sqrt{2} \\ & z=2+mt \\ \end{align} \right.$. Tìm giá trị của m sao cho góc giữa ai đường thẳng ${{d}_{1}}$ và ${{d}_{2}}$ bằng ${{60}^{o}}.$

A. $m=1.$ B. $m=-1.$ C.$m=1$ và $m=-1.$ D.$m=0.$

Ta có: $\overrightarrow{{{u}_{1}}}=(1;-\sqrt{2};1);\overrightarrow{{{u}_{2}}}=(1;\sqrt{2};m)\Rightarrow \cos \left( {{d}_{1}};{{d}_{2}} \right)=\left| \cos \left( \overrightarrow{{{u}_{1}}};\overrightarrow{{{u}_{2}}} \right) \right|=\frac{\left| 1-2+m \right|}{2.\sqrt{{{m}^{2}}+3}}=\frac{\left| m-1 \right|}{2.\sqrt{{{m}^{2}}+3}}$

Do $\left( \widehat{{{d}_{1}};{{d}_{2}}} \right)={{60}^{o}}\Rightarrow \cos {{60}^{o}}=\frac{\left| m-1 \right|}{2\sqrt{{{m}^{2}}+3}}\Leftrightarrow \frac{\left| m-1 \right|}{2.\sqrt{{{m}^{2}}+3}}=\frac{1}{2}.$

$\Leftrightarrow \left| m-1 \right|=\sqrt{{{m}^{2}}+3}\Leftrightarrow {{m}^{2}}-2m+1={{m}^{2}}+3\Leftrightarrow m=-1.$

Bài tập 10: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng $\left( \alpha \right):x-y+2z+1=0$ và đường thẳng $\Delta :\frac{x}{1}=\frac{y}{2}=\frac{z-1}{-1}.$ Góc giữa đường thẳng $\Delta $ và mặt phẳng $(\alpha )$ bằng

A. ${{150}^{o}}.$ B. ${{60}^{o}}.$ C. ${{30}^{o}}.$ D.${{120}^{o}}.$

Ta có$\overrightarrow{{{n}_{\alpha }}}=(1;-1;2);\overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}=(1;2;-1)\Rightarrow \sin \left( \widehat{(\alpha );\Delta } \right)=\left| \cos \left( \widehat{\overrightarrow{{{n}_{\alpha }}};\overrightarrow{\Delta }} \right) \right|=\frac{\left| 1-2-2 \right|}{\sqrt{6}.\sqrt{6}}=\frac{1}{2}\Rightarrow \left( \widehat{\left( \alpha \right);\Delta } \right)={{30}^{o}}.$

Bài tập 11: Cho đường thẳng $d:\left\{ \begin{align} & x=6+5t \\ & y=2+t \\ & z=1 \\ \end{align} \right.$ và mặt phẳng $(P):3x-2y+1=0.$ Góc hợp giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) là:

A. ${{30}^{o}}.$ B. ${{45}^{o}}.$ C. ${{60}^{o}}.$ D. ${{90}^{o}}.$

Ta có $\overrightarrow{{{n}_{(P)}}}=(3;-2;0);\overrightarrow{{{u}_{d}}}=(5;1;0)\Rightarrow sin\left( \widehat{(P);\Delta } \right)=\left| \cos \left( \widehat{\overrightarrow{{{n}_{(P)}}};\overrightarrow{\Delta }} \right) \right|=\frac{\left| 15-2 \right|}{\sqrt{13}.\sqrt{26}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\Rightarrow \left( \widehat{(P);\Delta } \right)={{45}^{o}}.$

Bài tập 12: Cho đường thẳng $d:\frac{x-3}{2}=\frac{y-2}{1}=\frac{z}{1}$ và mặt phẳng $(P):3x+4y+5z+8=0.$ Góc hợp giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) là:

A. ${{30}^{o}}.$ B. ${{45}^{o}}.$ C. ${{60}^{o}}.$ D. ${{90}^{o}}.$

Ta có $\overrightarrow{{{n}_{(P)}}}=(3;4;5);\overrightarrow{{{u}_{d}}}=(2;1;1)\Rightarrow \sin \left( \widehat{(P);\Delta } \right)=\left| \cos \left( \widehat{\overrightarrow{{{n}_{(P)}}};\overrightarrow{\Delta }} \right) \right|=\frac{\left| 6+4+5 \right|}{\sqrt{6}.\sqrt{50}}=\frac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow \left( \widehat{(P);\Delta } \right)={{60}^{o}}.$

Bài tập 13: Cho đường thẳng $d:\frac{x+1}{2}=\frac{y}{-1}=\frac{z-3}{1}$ và mặt phẳng $(P):3x-2y+5z+3=0.$ Gọi $\alpha $ là góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) khi đó $\sin \alpha $ bằng

A. $\frac{13}{2\sqrt{57}}.$ B. $\frac{13}{\sqrt{57}}.$ C. $\frac{13}{\sqrt{75}}.$ D. $\frac{13}{2\sqrt{75}}.$

Ta có $\overrightarrow{{{n}_{(P)}}}=(3;-2;5);\overrightarrow{{{u}_{d}}}=(2;-1;1)\Rightarrow \sin \left( \widehat{(P);\Delta } \right)=\left| \cos \left( \widehat{\overrightarrow{{{n}_{(P)}}};\overrightarrow{\Delta }} \right) \right|=\frac{\left| 6+2+5 \right|}{\sqrt{38}.\sqrt{6}}=\frac{13}{2\sqrt{57}}.$

Bài tập 14: Trong không gian tọa độ Oxyz cho đường thẳng $d:\frac{x}{1}=\frac{y-1}{-1}=\frac{z+2}{-2}$ và mặt phẳng $(P):2x+y-z+5=0.$ Góc giữa $d$ và (P) là:

A. ${{60}^{o}}.$ B. ${{45}^{o}}.$ C. ${{30}^{o}}.$ D. ${{150}^{o}}.$

Ta có $\overrightarrow{{{n}_{(P)}}}=(2;1;-1);\overrightarrow{{{u}_{d}}}=(1;-1;-2)\Rightarrow \sin \left( \widehat{(P);\Delta } \right)=\left| \cos \left( \widehat{\overrightarrow{{{n}_{(P)}}};\overrightarrow{\Delta }} \right) \right|=\frac{\left| 2-1+2 \right|}{\sqrt{6}.\sqrt{6}}=\frac{1}{2}.$

Suy ra $\left( \widehat{(P);\Delta } \right)={{30}^{o}}.$

Bài tập 15: Cho đường thẳng $d:\frac{x-1}{3}=\frac{y-1}{4}=\frac{z}{5}$ và mặt phẳng $(P):2x+my+mz-1=0.$ Gọi $\alpha $ là góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P). Gọi S là tập hợp các giá trị của m sao cho $\alpha ={{60}^{o}}.$ Tổng các phần tử của tập hợp S là:

A. 0. B. – 19. C. – 18. D. – 20.

Ta có $\overrightarrow{{{n}_{(P)}}}=(2;m;m);\overrightarrow{{{u}_{d}}}=(3;4;5)\Rightarrow \sin \left( \widehat{(P);\Delta } \right)=\left| \cos \left( \widehat{\overrightarrow{{{n}_{(P)}}};\overrightarrow{\Delta }} \right) \right|=\frac{\left| 6+4m+5m \right|}{\sqrt{4+2{{m}^{2}}}.\sqrt{50}}$

$\Leftrightarrow \sin {{60}^{o}}=\frac{\left| 9m+6 \right|}{10\sqrt{{{m}^{2}}+2}}\Leftrightarrow \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\left| 9m+6 \right|}{10\sqrt{{{m}^{2}}+2}}\Leftrightarrow 3.25\left( {{m}^{2}}+2 \right)=9{{(3m+2)}^{2}}$

$\Leftrightarrow 3(9{{m}^{2}}+12m+4)=25{{m}^{2}}+50\Leftrightarrow 2{{m}^{2}}+36m-38=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & m=1 \\ & m=-19. \\ \end{align} \right.$